Մաթեմատիկան և մենք. Մաթեմատիկան և մենք Պատահական փորձարկում՝ սիմետրիկ մետաղադրամ
Վիճակ
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները գոնե մեկ անգամ կհայտնվեն:
Լուծում
- Այս խնդիրը կլուծենք բանաձևով.
Այնտեղ, որտեղ P(A)-ը A իրադարձության հավանականությունն է, m-ը այս իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների թիվն է, n-ը հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվն է:
- Եկեք կիրառենք այս տեսությունը մեր խնդրին.
A – իրադարձություն, երբ գլուխները հայտնվում են առնվազն մեկ անգամ.
P(A) – հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն առնվազն մեկ անգամ:
- Սահմանենք m և n.
m-ն այս իրադարձության համար նպաստավոր արդյունքների թիվն է, այսինքն՝ արդյունքների թիվը, երբ գլուխները հայտնվում են 1 անգամ: Փորձի ժամանակ երկու անգամ նետում են մետաղադրամ, որն ունի 2 կողմ՝ պոչեր (P) և գլուխներ (O): Գլուխներ են պետք, որ գոնե մեկ անգամ բարձրանան, և դա հնարավոր է, երբ առաջանում են հետևյալ համակցությունները՝ OP, PO և OO, այսինքն՝ պարզվում է, որ
m = 3, քանի որ առնվազն 1 գլուխ ստանալու 3 հնարավոր եղանակ կա.
n-ը հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվն է, այսինքն՝ n-ն որոշելու համար մենք պետք է գտնենք բոլոր հնարավոր համակցությունների թիվը, որոնք կարող են առաջանալ մետաղադրամը երկու անգամ նետելիս: Առաջին անգամ մետաղադրամ նետելիս այն կարող է բարձրանալ կամ պոչերով կամ գլուխներով, այսինքն՝ հնարավոր է երկու տարբերակ։ Երկրորդ անգամ մետաղադրամ նետելիս հնարավոր են ճիշտ նույն տարբերակները։ Պարզվում է, որ
Ներկայացման նկարագրությունը առանձին սլայդներով.
1 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Հավանականությունների տեսության խնդիրների լուծում. Մաթեմատիկայի ուսուցիչ MBOU Նիվնյանսկայայի միջնակարգ դպրոց, Նեչաևա Թամարա Իվանովնա
2 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Դասի նպատակները՝ դիտարկել հավանականությունների տեսության տարբեր տեսակի խնդիրներ և դրանց լուծման մեթոդներ: Դասի նպատակները՝ սովորեցնել ուսանողներին ճանաչել հավանականության տեսության տարբեր տեսակի խնդիրներ և բարելավել դպրոցականների տրամաբանական մտածողությունը:
3 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 1. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է 2 անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ դուք կստանաք նույն թվով գլուխներ և պոչեր:
4 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 2. Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ դուք երբեք գլուխ չեք գտնի:
5 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 3. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն ուղիղ մեկ անգամ: Լուծում. Նշված իրադարձության հավանականությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել փորձի բոլոր հնարավոր արդյունքները, այնուհետև ընտրել դրանցից բարենպաստ արդյունքներ (բարենպաստ արդյունքներն այն արդյունքներն են, որոնք բավարարում են խնդրի պահանջները): Մեր դեպքում բարենպաստ արդյունքներ կլինեն այն դեպքում, երբ սիմետրիկ մետաղադրամի երկու նետումով գլուխները դուրս են գալիս միայն մեկ անգամ: Իրադարձության հավանականությունը հաշվարկվում է որպես բարենպաստ արդյունքների քանակի և արդյունքների ընդհանուր թվի հարաբերակցություն: Հետևաբար, հավանականությունը, որ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետելիս գլուխները կհայտնվեն միայն մեկ անգամ, հավասար է՝ P = 2/4 = 0,5 = 50% Պատասխան՝ հավանականությունը, որ վերը նշված փորձի արդյունքում գլուխները կհայտնվեն միայն մեկ անգամ։ կազմում է 50%: Փորձի թիվ 1-ին նետում 2-րդ նետում Գլուխների քանակը 1 Գլուխներ 2 2 Պոչեր Պոչեր 0 3 Գլուխ Պոչեր 1 4 Պոչեր Գլուխներ 1
6 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 4. Զառերը նետվում են մեկ անգամ: Ո՞րն է հավանականությունը, որ գլորված կետերի թիվը 4-ից մեծ է: Լուծում. Պատահական փորձ՝ ձեռի նետում: Տարրական իրադարձությունը ընկած կողմի թիվն է: Պատասխան՝ 1/3 Ընդամենը դեմքեր՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 Տարրական իրադարձություններ՝ N=6 N(A)=2
7 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 5. Բիաթլոնիստը հինգ անգամ կրակում է թիրախների վրա: Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է։ Գտեք հավանականությունը, որ բիաթլոնիստը առաջին երեք անգամ հարվածում է թիրախներին և բաց թողնում վերջին երկու անգամը: Արդյունքը կլորացրեք հարյուրերորդական: Լուծում՝ հարվածի հավանականություն = 0,8 Բաց թողնելու հավանականություն = 1 - 0,8 = 0,2 Ա = (հարված, հարված, հարված, բաց թողած, բաց թողած) Համաձայն հավանականության բազմապատկման բանաձևի P(A) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 02: (A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Պատասխան՝ 0,02
8 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 6. Պատահական փորձի ժամանակ գցվում են երկու զառախաղ: Գտեք հավանականությունը, որ գծված կետերի գումարը լինի 6: Պատասխանը կլորացրեք մոտակա հարյուրերորդին Լուծում. Այս փորձի տարրական արդյունքը դասավորված թվերի զույգն է: Առաջին համարը կհայտնվի առաջին դիակի վրա, երկրորդը՝ երկրորդի վրա: Հարմար է շատ տարրական արդյունքներ ներկայացնել աղյուսակում: Տողերը համապատասխանում են առաջին մատիտի կետերի քանակին, երկրորդի սյունակներին: Տարրական իրադարձությունների ընդհանուր թիվը n = 36 է: Եկեք յուրաքանչյուր բջիջում գրենք գծված կետերի գումարը և գունավորենք այն բջիջները, որտեղ գումարը հավասար է 6-ի: Նման 5 բջիջ կա: Սա նշանակում է, որ իրադարձությունը A = ( Նկարված միավորների գումարը 6 է) ձեռնտու է 5 տարրական ելքով: Հետեւաբար, m = 5. Հետեւաբար, P(A) = 5/36 = 0.14: Պատասխան՝ 0.14: 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
Սլայդ 9
Սլայդի նկարագրություն.
Հավանականության բանաձև Թեորեմ Թող մետաղադրամը նետվի n անգամ: Այնուհետև հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն ճշգրիտ k անգամ, կարելի է գտնել բանաձևով. Որտեղ Cnk-ն k-ում n տարրերի համակցությունների թիվն է, որը հաշվարկվում է բանաձևով.
10 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 7. Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ: Գտեք ուղիղ երեք անգամ գլուխներ ստանալու հավանականությունը: Լուծում Ըստ խնդրի պայմանների՝ ընդհանուր առմամբ եղել է n = 4 նետում։ Պահանջվող արծիվների քանակը՝ k =3. Մենք n-ը և k-ն փոխարինում ենք բանաձևի մեջ. Նույն հաջողությամբ մենք կարող ենք հաշվել գլուխների քանակը՝ k = 4 − 3 = 1: Պատասխանը կլինի նույնը: Պատասխան՝ 0,25
11 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 8. Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ դուք երբեք գլուխ չեք գտնի: Լուծում Կրկին գրում ենք n և k թվերը։ Քանի որ մետաղադրամը նետվում է 3 անգամ, n = 3: Եվ քանի որ գլուխները չպետք է լինեն, k = 0: Մնում է n և k թվերը փոխարինել բանաձևով. Հիշեցնեմ, որ 0! = 1 ըստ սահմանման: Հետեւաբար C30 = 1. Պատասխան՝ 0,125
12 սլայդ
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 9. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է 4 անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն ավելի շատ, քան պոչերը: Լուծում. Որպեսզի գլուխներն ավելի շատ լինեն, քան պոչերը, դրանք պետք է հայտնվեն կամ 3 անգամ (այնուհետև կլինի 1 պոչ), կամ 4 անգամ (այդ դեպքում պոչ ընդհանրապես չի լինի): Գտնենք այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը։ Թող p1 լինի 3 անգամ գլուխներ ստանալու հավանականությունը: Այնուհետև n = 4, k = 3: Մենք ունենք. Հիմա եկեք գտնենք p2 - հավանականությունը, որ գլուխները վայրէջք կկատարեն բոլոր 4 անգամները: Այս դեպքում n = 4, k = 4: Մենք ունենք. Պատասխանը ստանալու համար մնում է գումարել p1 և p2 հավանականությունները: Հիշեք. դուք կարող եք ավելացնել միայն փոխադարձ բացառող իրադարձությունների հավանականությունները: Մենք ունենք՝ p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Պատասխան՝ 0,3125
Սլայդ 13
Սլայդի նկարագրություն.
Խնդիր 10. Վոլեյբոլի խաղի մեկնարկից առաջ թիմերի ավագները արդար վիճակահանությամբ որոշեն, թե որ թիմը կսկսի խաղը գնդակով: «Stator» թիմը հերթով խաղում է «Rotor», «Motor» և «Starter» թիմերի հետ: Գտեք հավանականությունը, որ Ստատորը կսկսի միայն առաջին և վերջին խաղերը: Լուծում. Պետք է գտնել երեք իրադարձության հավանականությունը. «Stator»-ը սկսում է առաջին խաղը, չի սկսում երկրորդ խաղը և սկսում է երրորդ խաղը: Անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին: Նրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը 0,5 է, որից գտնում ենք՝ 0,5·0,5·0,5 = 0,125։ Պատասխան՝ 0,125:
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամ են նետում...
Որպես նախաբան.
Բոլորը գիտեն, որ մետաղադրամն ունի երկու կողմ՝ գլուխ և պոչ:
Դրամագետները կարծում են, որ մետաղադրամն ունի երեք կողմ՝ դիմերես, դարձերես և ծայր:
Ե՛վ դրանցից, և՛ մյուսներից քչերը գիտեն, թե ինչ է սիմետրիկ մետաղադրամը: Բայց նրանք, ովքեր պատրաստվում են միասնական պետական քննություն հանձնել, գիտեն այս մասին (լավ, կամ պետք է իմանան:):
Ընդհանուր առմամբ, այս հոդվածում կխոսվի անսովոր մետաղադրամի մասին, որը ոչ մի կապ չունի դրամագիտության հետ, բայց, միևնույն ժամանակ, դպրոցականների շրջանում ամենատարածված մետաղադրամն է։
Այսպիսով.
Սիմետրիկ մետաղադրամ- սա երևակայական մաթեմատիկորեն իդեալական մետաղադրամ է՝ առանց չափի, քաշի, տրամագծի և այլն։ Արդյունքում՝ այդպիսի մետաղադրամը նույնպես եզր չունի, այսինքն՝ այն իսկապես ունի միայն երկու կողմ։ Սիմետրիկ մետաղադրամի հիմնական հատկությունն այն է, որ նման պայմաններում գլուխների կամ պոչերի հայտնվելու հավանականությունը բացարձակապես նույնն է։ Եվ նրանք հայտնվեցին սիմետրիկ մետաղադրամ՝ մտքի փորձեր անցկացնելու համար:
Ամենատարածված սիմետրիկ մետաղադրամի խնդիրը հետևյալն է. «Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է երկու անգամ (երեք անգամ, չորս անգամ և այլն): Խնդիրն այն է, որ որոշվի հավանականությունը, որ մի կողմը որոշակի քանակությամբ անգամ վայրէջք կատարի:
Խնդրի լուծումը սիմետրիկ մետաղադրամով
Հասկանալի է, որ նետվելու արդյունքում մետաղադրամը կհայտնվի կամ գլխի, կամ պոչերի վրա: Քանի անգամ կախված է նրանից, թե քանի նետում պետք է կատարվի: Գլուխներ կամ պոչեր ստանալու հավանականությունը հաշվարկվում է պայմանը բավարարող արդյունքների թիվը հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվի վրա բաժանելով։
Մեկ նետում
Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Դա կլինի կամ գլուխներ, կամ պոչեր: Նրանք. ունենք երկու հնարավոր ելք, որոնցից մեկը մեզ բավարարում է՝ 1/2=50%
Երկու նետում
Երկու նետումով դուք կարող եք ստանալ.
երկու արծիվ
երկու գլուխ
գլուխները, ապա պոչերը
պոչերը, ապա գլուխները
Նրանք. Կան միայն չորս հնարավոր տարբերակներ. Մեկից ավելի գլանափաթեթների հետ կապված խնդիրները ամենահեշտ լուծվում են հնարավոր տարբերակների աղյուսակ կազմելով: Պարզության համար եկեք գլուխները նշանակենք «0», իսկ պոչերը՝ «1»: Այնուհետև հնարավոր արդյունքների աղյուսակը կունենա հետևյալ տեսքը.
00
01
10
11
Եթե, օրինակ, ձեզ անհրաժեշտ է գտնել հավանականությունը, որ գլուխները մեկ անգամ կհայտնվեն, պարզապես անհրաժեշտ է հաշվել աղյուսակում հարմար տարբերակների քանակը, այսինքն. այն տողերը, որտեղ արծիվը հայտնվում է մեկ անգամ: Նման երկու տող կա. Սա նշանակում է, որ սիմետրիկ մետաղադրամի երկու նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 2/4 = 50% է:
Հավանականությունը, որ գլուխները երկու անգամ կհայտնվեն երկու նետումներում, 1/4=25% է:
Երեք ռոսկա
Եկեք ստեղծենք ընտրանքների աղյուսակ.
000
001
010
011
100
101
110
111
Նրանք, ովքեր ծանոթ են երկուական հաշվարկին, հասկանում են, թե ինչի ենք հասել: :) Այո, դրանք երկուական թվանշաններ են «0»-ից մինչև «7»: Սա հեշտացնում է տարբերակների հետ չշփոթելը:
Եկեք լուծենք նախորդ պարբերության խնդիրը՝ հաշվարկեք գլխիկների մեկ անգամ հայտնվելու հավանականությունը։ Կան երեք տող, որտեղ «0»-ը հայտնվում է մեկ անգամ: Սա նշանակում է, որ սիմետրիկ մետաղադրամի երեք նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 3/8 = 37,5% է:
Երեք նետումներում երկու անգամ գլուխներ հայտնվելու հավանականությունը 3/8 = 37,5% է, այսինքն. բացարձակապես նույնը.
Երեք նետումներում երեք անգամ գլուխների հայտնվելու հավանականությունը 1/8 = 12,5% է:
Չորս նետում
Եկեք ստեղծենք ընտրանքների աղյուսակ.
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Հավանականությունը, որ գլուխները մեկ անգամ կհայտնվեն։ Միայն երեք տող կա, որտեղ «0»-ը հայտնվում է մեկ անգամ, ինչպես երեք նետումների դեպքում: Բայց արդեն տասնվեց տարբերակ կա։ Սա նշանակում է, որ սիմետրիկ մետաղադրամի չորս նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը 3/16 = 18,75% է:
Երեք նետումներում երկու անգամ գլուխներ հայտնվելու հավանականությունը 6/8 = 75% է:
Երեք նետումներում երեք անգամ գլուխներ հայտնվելու հավանականությունը 4/8 = 50% է:
Այսպիսով, նետումների քանակի ավելացմամբ, խնդրի լուծման սկզբունքը ընդհանրապես չի փոխվում, միայն, համապատասխան պրոգրեսիայով, ավելանում է տարբերակների քանակը։
Խնդրի ձևակերպում.Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները (պոչերը) չեն հայտնվի նույնիսկ մեկ անգամ (կհայտնվեն ճշգրիտ/առնվազն 1, 2 անգամ):
Խնդիրը 10-րդ համարի տակ գտնվող 11-րդ դասարանի հիմնական մակարդակի մաթեմատիկայի միասնական պետական քննության մի մասն է (Հավանականության դասական սահմանում):
Եկեք նայենք, թե ինչպես են նման խնդիրները լուծվում օրինակների միջոցով:
Օրինակ առաջադրանք 1.
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները նույնիսկ մեկ անգամ չեն բարձրանա:
OO OR RO RR
Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման համակցություն, մեզ հետաքրքրում են միայն նրանք, որոնք չեն պարունակում մեկ արծիվ։ Կա միայն մեկ նման համադրություն (PP):
P = 1 / 4 = 0,25
Պատասխան՝ 0,25
Օրինակ առաջադրանք 2.
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք ուղիղ երկու անգամ գլուխներ ստանալու հավանականությունը:
Եկեք դիտարկենք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են առաջանալ, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար գլուխները կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.
OO OR RO RR
Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման համակցություն, մեզ հետաքրքրում են միայն նրանք, որոնցում գլուխները հայտնվում են ուղիղ 2 անգամ։ Կա միայն մեկ նման համակցություն (OO):
P = 1 / 4 = 0,25
Պատասխան՝ 0,25
Օրինակ առաջադրանք 3.
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները ճիշտ մեկ անգամ են առաջանում:
Եկեք դիտարկենք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են առաջանալ, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար գլուխները կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.
OO OR RO RR
Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման կոմբինացիա, մեզ հետաքրքրում են միայն նրանք, որոնցում գլուխները բարձրացել են ուղիղ 1 անգամ։ Կան միայն երկու նման համակցություններ (OR և RO):
Պատասխան՝ 0,5
Օրինակ առաջադրանք 4.
Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները գոնե մեկ անգամ կհայտնվեն:
Եկեք դիտարկենք բոլոր հնարավոր համակցությունները, որոնք կարող են առաջանալ, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Հարմարության համար գլուխները կնշանակենք O տառով, իսկ պոչերը՝ P տառով.
OO OR RO RR
Ընդհանուր առմամբ կա 4 նման համակցություն, մեզ հետաքրքրում են միայն նրանք, որոնցում գլուխները հայտնվում են գոնե մեկ անգամ։ Կան ընդամենը երեք նման համակցություններ (OO, OP և RO):
P = 3 / 4 = 0,75
Մետաղադրամների նետման խնդիրները համարվում են բավականին բարդ: Իսկ դրանք լուծելուց առաջ մի փոքր բացատրություն է պահանջվում։ Մտածեք դրա մասին, հավանականությունների տեսության ցանկացած խնդիր ի վերջո հանգում է ստանդարտ բանաձևին.
որտեղ p-ը ցանկալի հավանականությունն է, k-ը մեզ հարմար իրադարձությունների թիվն է, n-ը հնարավոր իրադարձությունների ընդհանուր թիվն է:
B6 խնդիրների մեծ մասը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով այս բանաձևը բառացիորեն մեկ տողում. պարզապես կարդացեք պայմանը: Բայց մետաղադրամներ նետելու դեպքում այս բանաձեւն անօգուտ է, քանի որ նման խնդիրների տեքստից բոլորովին պարզ չէ, թե ինչին են հավասար k և n թվերը։ Ահա թե որտեղ է դժվարությունը:
Այնուամենայնիվ, կան լուծման առնվազն երկու սկզբունքորեն տարբեր մեթոդներ.
- Համադրությունների թվարկման մեթոդը ստանդարտ ալգորիթմ է։ Գլուխների և պոչերի բոլոր համակցությունները դուրս են գրվում, որից հետո ընտրվում են անհրաժեշտները.
- Հավանականության հատուկ բանաձևը հավանականության ստանդարտ սահմանումն է, որը հատուկ վերագրված է, որպեսզի հարմար լինի աշխատել մետաղադրամների հետ:
B6 խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ երկու մեթոդներն էլ։ Ցավոք, դպրոցներում միայն առաջինն է դասավանդվում։ Եկեք չկրկնենք դպրոցական սխալները. Այսպիսով, եկեք գնանք:
Համակցված որոնման մեթոդ
Այս մեթոդը կոչվում է նաև «առաջի լուծում»: Բաղկացած է երեք քայլից.
- Մենք գրում ենք գլխի և պոչերի բոլոր հնարավոր համակցությունները: Օրինակ՝ OR, RO, OO, RR: Նման համակցությունների թիվը n է;
- Ստացված համակցությունների շարքում մենք նշում ենք նրանց, որոնք պահանջվում են խնդրի պայմաններով: Մենք հաշվում ենք նշված համակցությունները - ստանում ենք k թիվը;
- Մնում է գտնել հավանականությունը՝ p = k: n:
Ցավոք, այս մեթոդն աշխատում է միայն փոքր քանակությամբ նետումների դեպքում: Որովհետև յուրաքանչյուր նոր նետումով կոմբինացիաների թիվը կրկնապատկվում է: Օրինակ, 2 մետաղադրամի համար դուք պետք է դուրս գրեք ընդամենը 4 համակցություն: 3 մետաղադրամի համար դրանք արդեն 8-ն են, իսկ 4-ի համար՝ 16, և սխալի հավանականությունը մոտենում է 100%-ի: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.
Առաջադրանք. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Գտեք հավանականությունը, որ դուք կստանաք նույն թվով գլուխներ և պոչեր:
Այսպիսով, մետաղադրամը երկու անգամ նետվում է: Եկեք գրենք բոլոր հնարավոր համակցությունները (O - գլուխներ, P - պոչեր).
Ընդհանուր n = 4 տարբերակ: Այժմ գրենք այն տարբերակները, որոնք համապատասխանում են խնդրի պայմաններին.
Կային k = 2 նման տարբերակ Գտե՛ք հավանականությունը.
Առաջադրանք. Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ դուք երբեք գլուխ չեք գտնի:
Կրկին մենք գրում ենք գլխի և պոչերի բոլոր հնարավոր համակցությունները.
ՕՈՈՈՈՊ ՕՊՈ ՕՊՊ ՕՊՈ ՕՊՈՊ ՕՊՈ ՕՊՊՊ
Poooo popo popo popp ppoo ppop pppo pppp
Ընդհանուր առմամբ կար n = 16 տարբերակ: Կարծես ոչինչ չեմ մոռացել. Այս տարբերակներից մեզ բավարարում է միայն «OOOO» համակցությունը, որն ընդհանրապես պոչեր չի պարունակում։ Հետևաբար, k = 1. Մնում է գտնել հավանականությունը.
Ինչպես տեսնում եք, վերջին խնդրի մեջ ես ստիպված էի դուրս գրել 16 տարբերակ: Վստա՞հ եք, որ կարող եք դրանք դուրս գրել առանց որևէ սխալ թույլ տալու: Անձամբ ես վստահ չեմ: Այսպիսով, եկեք նայենք երկրորդ լուծմանը:
Հատուկ հավանականության բանաձև
Այսպիսով, մետաղադրամների խնդիրներն ունեն իրենց հավանականության բանաձևը: Այն այնքան պարզ ու կարևոր է, որ որոշեցի այն ձևակերպել թեորեմի տեսքով։ Նայել:
Թեորեմ. Թող մետաղադրամը նետվի n անգամ: Այնուհետև հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն ճիշտ k անգամ, կարելի է գտնել բանաձևով.
Որտեղ C n k-ն k-ով n տարրերի համակցությունների թիվն է, որը հաշվարկվում է բանաձևով.
Այսպիսով, մետաղադրամի խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու թիվ՝ նետումների քանակը և գլուխների քանակը: Ամենից հաճախ այդ թվերը տրվում են անմիջապես խնդրի տեքստում: Ընդ որում, կարևոր չէ, թե կոնկրետ ինչ եք հաշվում՝ պոչե՞ր, թե՞ գլուխներ։ Պատասխանը նույնն է լինելու.
Առաջին հայացքից թեորեմը չափազանց ծանր է թվում: Բայց եթե մի փոքր պարապեք, այլևս չեք ցանկանա վերադառնալ վերը նկարագրված ստանդարտ ալգորիթմին:
Առաջադրանք. Մետաղադրամը նետվում է չորս անգամ։ Գտեք ուղիղ երեք անգամ գլուխներ ստանալու հավանականությունը:
Ըստ խնդրի պայմանների՝ եղել են n = 4 ընդհանուր նետում: Գլուխների պահանջվող քանակը՝ k = 3: Փոխարինեք n-ը և k-ն բանաձևով.
Առաջադրանք. Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ։ Գտեք հավանականությունը, որ դուք երբեք գլուխ չեք գտնի:
Կրկին գրում ենք n և k թվերը։ Քանի որ մետաղադրամը նետվում է 3 անգամ, n = 3: Եվ քանի որ գլուխներ չպետք է լինեն, k = 0: Մնում է n և k թվերը փոխարինել բանաձևով.
Հիշեցնեմ, որ 0! = 1 ըստ սահմանման: Հետևաբար C 3 0 = 1:
Առաջադրանք. Պատահական փորձի ժամանակ սիմետրիկ մետաղադրամը նետվում է 4 անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն ավելի շատ, քան պոչերը:
Որպեսզի գլուխներն ավելի շատ լինեն, քան պոչերը, դրանք պետք է հայտնվեն կամ 3 անգամ (այնուհետև կլինի 1 պոչ), կամ 4 անգամ (այդ դեպքում պոչ ընդհանրապես չի լինի): Գտնենք այս իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը։
Թող p 1 լինի այն հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն 3 անգամ: Այնուհետև n = 4, k = 3. Մենք ունենք.
Հիմա եկեք գտնենք p 2 - հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն բոլոր 4 անգամները: Այս դեպքում n = 4, k = 4. Ունենք.
Պատասխանը ստանալու համար մնում է գումարել p 1 և p 2 հավանականությունները: Հիշեք. դուք կարող եք ավելացնել միայն փոխադարձ բացառող իրադարձությունների հավանականությունները: Մենք ունենք:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125